제어시스템과 PID 제어 정리

제어시스템과 PID 제어 정리

제어시스템 개론과 PID 제어에 대한 전반적인 내용 정리.

0. 제어시스템

0.1 제어시스템의 개론

제어시스템을 이해하려면 아래의 기본적인 개념들에 대한 정의를 알고 있어야함.

1. 시스템(System)
   • 특정 동작을 수행하는 모든 것을 통칭하는 말
2. 플랜트( P , plant, 제어대상시스템, system to be controlled, process)
   • 어떤 기능을 수행하는 물리적 시스템
   • 제어하는 대상 을 지칭함.
     • ex : 모터, 자동차, 비행기, 선박 등 등
   • 입력(input, 제어신호( u ), control input)과 출력(output, 제어변수( y ), system output)을 가짐.
3. 제어기( C ,controller, system to control, 보상기, compensator, DSP)
   • 제어 목표를 수행하고자 고안된 시스템
   • 기준입력( r )(엄밀히 말하면 오차( e ))을 통해 제어신호( u )를 생성하여 플랜트( P )를 구동
4. 되먹임제어(Feedback Control, 궤환제어)
   • 플랜트( P )의 출력( y )를 사용하여 제어신호를 생성하는 기법
   • 외란(disturbance)이 존재할 때, 출력( y )과 기준입력( r )을 비교하여
     그 차이를 감소시키도록 하는 작동.
5. 강인성(robustness, 견실성)
   • 아래의 몇가지 경우의 조건에도 불구하고, 원하는 성능을 유지하는 능력
     1. 불확실성(uncertainty)
     2. 외란(disturbance)
     • 출력( y )에 나쁜 영향을 미치게 하는 신호
       1. 잡음(noise)
6. 제어시스템(Control System)
   • 제어기( C )와 플랜트( P )가 결합된 형태의 시스템을 통칭하는 용어
   • 제어변수( y )를 측정, 측정값이 기준입력( r )에 가까워지도록
     제어신호를 만드는 동작을 수행함.
   • 강인성(robustness)을 보장하기 위해 되먹임제어(Feedback Control, 폐루프(Closed-loop))도 구성함.

0.2 제어시스템의 목표

● 제어변수( y )가 기준입력( r )에 가까워지도록 제어기( C )를 설계하는 것!

● 강인성(robustness)을 보장할 것!

● 폐루프제어(Closed-loop)의 단점인 안정도를 고려할 것!

1. 제어시스템의 장점
   • 불확실성(uncertainty) 과 외란(disturbance)에 강함
   • 덜 정확하고 저비용 부품으로 성능 보장
2. 제어시스템의 단점
   • 안정도를 고려해야함.

0.3 제어시스템의 전형적인 단위계단응답

1. PID 제어

1.1 PID 제어의 정의

● 기준입력( r )과 측정된 출력( r_now )의 차이인 오차( e )를 이용한

● 비례(Proportional, P), 적분(Integral, I), 미분(Differential, D)을 통해

● 제어에 필요한 제어값(MV : Manipulated Variable)을 계산하여

● 제어신호( u )를 만드는 제어기

• 일반적인 PID제어기는 3개의 항(P, I ,D)를 더해서 제어값(MV)을 계산하도록 구성.

1. e(t) : 경과시간에 따른 오차( e )값.

1.2 P제어

• 현재 제어값(MV)이 오차( e )에 비례하여 변화시키는 방법
  • 오차( e )의 크기에 따라 제어신호( u )가 달라짐.

1. Kp가 크면
   • 제어시스템은 점점 더 빨리 기준입력( r )에 도달하게 됨.
   • 단, 불안정한 상태 가 되고 기준입력( r )근처에서 계속 진동 을 하게 됨.
2. Kp가 작으면
   • 제어시스템은 더 느리게 기준입력( r )에 도달하게 됨.

• 언젠가 기준입력( r )기준으로 일정한 오차( e )를 가지며 안정된 상태가 됨.
• 장점
  • 오차( e )는 점점 줄어듬.
• 단점
  • 오차( e )가 0이 되지 않고 근사값에 점점 가까워지게 됨.

1.3 I제어

• 일정한 상태(정상상태, Steady state)로 유지되는 오차( e )를 없애는 방법
• 일정 시간에 걸친 오차( e )의 합을 구하고 그 결과를 제어값(MV)에 더함.
  • 단위 시간(dt)에 따른 오차( e )의 적분으로 표현
• 적분항에 의해 시간이 지나면 오차( e )의 합이 쌓이며
  제어신호( u )는 빠르게 변해 오차( e )를 제거함.

1. Ki가 크면
   • 제어시스템은 훨씬 더 빨리 기준입력( r )에 도달하게 됨.
   • P제어만 할 때보단 파형의 변화량이 크지만
     오차( e )가 0에 가까워지고 기준입력( r )과 차이가 없이 안정이 됨.
   • 단, Ki를 너무 높이면 발산 을 하게 됨.
2. Ki가 작으면
   • 제어시스템은 더 느리게 기준입력( r )에 도달하게 됨.
   • P제어만 할 때보다 진동 없이 기준입력( r )점에 도착하여 안정이 됨.

• 장점
  • 오차( e )가 0에 매우 가까워짐.
  • P제어만 할 때보다 상승시간(rise time)에 빠르게 도달
• 단점
  • Overshoot이 크고 정착시간(settling time)에 빠르게 도달 할 수 없는 경우가 많음.

1.4 D제어

• 오차( e )의 변화율을 계산하고 그 결과를 제어값(MV)에 더함.
  • 단위 시간(dt)에 따른 오차( e )의 미분으로 표현

1. 오차( e )의 변화가 크지 않는다면
   • 미분항에 의해 D값은 작으며 제어값(MV)에 거의 영향을 미치지 않음.
2. 오차( e )의 변화가 갑자기 커진다면
   • 미분항에 의해 D값은 커지며 제어값(MV)이 크게 변하는 경우를 막아줌.

• 장점
  • Overshoot 개선 및 정착시간(settling time)에 빠르게 도달 할 수 있도록 해줌.
• 단점
  • 제어시스템이 전체적으로 불안정해질 수 있음.(미세한 진동 등)

2. PID 제어기 튜닝

2.1 Ziegler-Nichols 튜닝 규칙

• 실험적(막말로 노가다)으로 PID제어기를 튜닝하는 방법
• 제어기 튜닝(Controller tuning) : 주어진 성능을 만족시키기 위한
  제어기 파라미터(Kp,Ki,Kd)를 찾아내는 과정.
• PID제어기의 미세 튜닝을 위한 시작값을 제공해줌으로 알고있어야함.
  • Ziegler-Nichols 튜닝을 통해 찾은 값은
    1. 허용할 수 없을 정도의 overshoot를 나타낼 수 있음.
    2. 그에 따른 정착시간(settling time)에 빠르게 도달할 수 없음.
• 결론적으로, 주어진 성능을 만족시키기 한 제어기를 만들기 위해서는
  1. Ziegler-Nichols 튜닝을 통해 시작 값을 찾고
  2. 여러 번의 미세 튜닝 실험을 반복하여 최종 값을 찾아야함.

2.2 Ziegler-Nichols 튜닝 방법 #1 (계단응답이 S형 곡선인 경우)

• 추후 정리

2.3 Ziegler-Nichols 튜닝 방법 #2

1. Ki, Kd의 값은 0 으로 설정.
2. Kp 값을 0에서 부터 증가시켜가면서 출력이 최초로
   지속적인 진동 을 하게 되는 Kp값을 구함.
   • 이 값이 임계이득(Kcr) 임.
3. Kp가 Kcr인 상태에서 진동 주기를 구함.
   • 이 값이 임계주기(Pcr) 임.
4. 임계이득(Kcr) 과 임계주기(Pcr) 에 따른
   Kp, Ki, Kd 값을 아래 그림의 공식에 따라 결정함.

1. 결과
   • 예시로, 아래의 경우와 같이 overshoot크고 정착시간(settling time)에 빠르게 도달하지 못하는
     출력( y )을 얻게됨.

• 위에서 구한 값을 토대로 여러 번의 미세 튜닝 실험을 반복하여 최종 값을 찾아야함.